где . Из (20) следует, что
Рассмотрим два случая:
Пусть , тогда , то есть (21)
где
Положим , тогда уравнение (21) примет вид:
Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно
оси (OY ).
Пусть , тогда уравнение (20) перепишется в виде
(22)
1. Если , то получим уравнение оси (OY ) .
2. Если , то возможны два случая. Если A′ и F′ одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A′ и F′ разных знаков, то , где , поэтому и уравнение (22) описывает две параллельные прямые:
b) Пусть , тогда уравнение (9) примет вид
(23)
Если , а , то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если же или отличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.
Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:
- уравнение эллипса
- уравнение гиперболы
- уравнение параболы
- совокупности двуз пересекающихся прямых
- совокупности двух параллельных прямых
Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике
В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.
Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.
Окружность
Определение 1.1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М0, называемой ее центром.[9.С.65]
Общий вид уравнения
Исследование свойств окружности по её уравнению
Пресечение с осями координат:
С ОХ: Пусть у=0, тогда . Отсюда делаем вывод, что (-R;0), (R;0)- точки пересечения с осью ОХ.
С ОУ: Пусть х=0, тогда 02+у2=R2. Отсюда делаем вывод, что (0;-R),(0;R)- точки пресечения с осью ОУ.
Следовательно, у окружности с центром в начале координат область допустимых значений для и для закрытый интервал .
Вывод: Окружность вписана в квадрат с размером стороны 2R.[1.С.99]
2) Симметрия окружности:
Относительно оси ОХ и оси ОУ, так как окружность имеет общие точки пересечения с осями координат.
Пусть принадлежит окружности, т. Е - верное равенство.
Точка симметрична точке М0 относительно оси ОХ. Подставим координаты точки М1 в уравнение окружности ,отсюда имеем: - верное равенство.
Следовательно, М1 принадлежит окружности, отсюда следует, что окружность симметрична относительно оси ОХ.
Еще о педагогике:
Особенности речевого развития младших школьников с умственной отсталостью
Актуальность и значимость проблемы нарушений речи и их коррекции у детей с интеллектуальным недоразвитием определяется, прежде всего, когнитивной функцией речи, тесной связью процессов развития речи и познавательной деятельности ребенка. В советской и зарубежной специальной литературе широко предст ...
Гуманизация образования: основные направления
Ускорение развития является существенной и специфичной чертой всего общественного процесса. Система образования в этом смысле не исключение. Инновационные процессы, объединяющие создание, освоение и применение педагогических новшеств, в силу такого единства способны значительно ускорить процессы об ...
«Активные" методы обучения
За последние годы все большее внимание педагогической науки и практики привлекают методы обучения, которые по своему содержанию и способам осуществления невозможны без высокого уровня внешней и внутренней активности учащихся. Обычно их называют «активными методами обучения». Из таких методов наибол ...