где . Из (20) следует, что
Рассмотрим два случая:
Пусть , тогда
, то есть
(21)
где
Положим , тогда уравнение (21) примет вид:
Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно
оси (OY ).
Пусть , тогда уравнение (20) перепишется в виде
(22)
1. Если , то получим уравнение оси (OY )
.
2. Если , то возможны два случая. Если A′ и F′ одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A′ и F′ разных знаков, то
, где
, поэтому
и уравнение (22) описывает две параллельные прямые:
b) Пусть , тогда уравнение (9) примет вид
(23)
Если , а
, то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если же
или
отличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.
Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:
- уравнение эллипса
- уравнение гиперболы
- уравнение параболы
- совокупности двуз пересекающихся прямых
- совокупности двух параллельных прямых
Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике
В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.
Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.
Окружность
Определение 1.1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М0, называемой ее центром.[9.С.65]
Общий вид уравнения
Исследование свойств окружности по её уравнению
Пресечение с осями координат:
С ОХ: Пусть у=0, тогда . Отсюда делаем вывод, что (-R;0), (R;0)- точки пересечения с осью ОХ.
С ОУ: Пусть х=0, тогда 02+у2=R2. Отсюда делаем вывод, что (0;-R),(0;R)- точки пресечения с осью ОУ.
Следовательно, у окружности с центром в начале координат область допустимых значений для и для
закрытый интервал
.
Вывод: Окружность вписана в квадрат с размером стороны 2R.[1.С.99]
2) Симметрия окружности:
Относительно оси ОХ и оси ОУ, так как окружность имеет общие точки пересечения с осями координат.
Пусть принадлежит окружности, т. Е
- верное равенство.
Точка симметрична точке М0 относительно оси ОХ. Подставим координаты точки М1 в уравнение окружности
,отсюда имеем:
- верное равенство.
Следовательно, М1 принадлежит окружности, отсюда следует, что окружность симметрична относительно оси ОХ.
Еще о педагогике:
Диагностика протекания адаптационного процесса детей шести лет к обучению в
школе
Объектом исследования являлись ученики в количестве 20 человек МОУ СОШ №1 с. Канглы Минераловодского района посещавшие подготовительные к школе курсы и зачисленные этим же составом в 1А класс. Результаты обследования представляются в виде количественных оценок, которые получает ребенок за каждое за ...
Школьный балл - проблемы и решения
Исторический анализ показал, что зачастую под отметкой в российском образовании понималась оценка и наоборот. Однако шкала отметок более жестка, формализована. Ее главная задача установить уровень (степень) усвоения школьником единообразной государственной программы, образовательного стандарта. Она ...
Методики изучения развития речи детей с нарушением интеллекта
Реализация прав ребенка, согласно конвенции ООН, которой следует и Россия, в первую очередь направлена на обеспечение всех детей, в том числе детей с выраженными отклонениями в развитии и инвалидов, полноценной общественной жизнью, на создание условий, необходимых для их максимальной реализации сво ...