Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Аналитическая геометрия описывает свойства линий на плоскости через их уравнения. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой (канонический) вид, удобный для исследования.
Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
где A,B,C,D,E,F - вещественные коэффициенты, причем .
Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.
Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.
Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол
в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точки M в новой системе координат X'OY'.(чертеж 1.)
Чертеж 1
Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:
(так как
); (2)
(так как
); (3)
Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то
,
. (4)
Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому
,
. (5)
Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим:
(6)
Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые
при повороте XOY на угол α вокруг О (0,0).
Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY.
Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:
Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.
При , получим:
,
При :
, (7)
При :
,
При :
,
При :
.
Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:
(8)
Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент
. Из (7) следует, что
поэтому
После данного преобразования уравнение (1) примет вид:
. (9)
Еще о педагогике:
Совместная деятельность воспитателя и детей по уходу за обитателями живого
уголка
Воспитатель учит детей сравнительному анализу: сравнивая животных, находить сходство и различие между ними, общее и различное у растений, помогает замечать интересные особенности внешнего вида, поведения животных. При рассматривании комнатных растений обращает внимание ребят на красоту цветов и лис ...
Адаптация в детском саду
Подсознательно, в нас укоренилось, что детский сад одна из ступенек детства, по которым поднимаются в срок. К тому же сам ребенок твердит, что ему скучно и хочется играть с детьми. Но вот радостные ожидания от первых посещений сада сменяются озабоченностью: у ребенка регресс во всем достигнутом: в ...
Логопедическое обследование
Прежде чем начать коррекционную работу с детьми, имеющими нарушения речи, необходимо провести обследование. При обследовании детей с нарушениями звукопроизношения нужно решить целый ряд задач. Основные из них следующие: Отграничение истинных нарушений звукопроизношения, требующих специальной логопе ...