Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Аналитическая геометрия описывает свойства линий на плоскости через их уравнения. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой (канонический) вид, удобный для исследования.
Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
где A,B,C,D,E,F - вещественные коэффициенты, причем .
Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.
Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.
Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точки M в новой системе координат X'OY'.(чертеж 1.)
Чертеж 1
Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:
(так как ); (2)
(так как ); (3)
Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то , . (4)
Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому , . (5)
Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим: (6)
Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые при повороте XOY на угол α вокруг О (0,0).
Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY.
Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:
Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.
При , получим:
,
При :
, (7)
При :
,
При :
,
При :
.
Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:
(8)
Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент . Из (7) следует, что поэтому
После данного преобразования уравнение (1) примет вид:
. (9)
Еще о педагогике:
Метод учебного проекта в школьном образовании
В основе проектной деятельности учащихся лежит педагогическая технология обучения, которая так и называется — метод проектов. Этот метод возник в 20-е годы нынешнего столетия в США. Его называли также методом проблем и связывали с идеями гуманистического направления в философии и образовании, разра ...
Характеристика дошкольников 3-5-летнего возраста
Традиционно возрастные рамки среднего дошкольного возраста ограничиваются психологами периодом от трех до пяти лет. В этом возрасте происходит дальнейший рост и развитие детского организма, совершенствуются физиологические функции и процессы. Активно формируется костно-мышечная система, в силу чего ...
Компьютер и его состав
Компьютер - это аппаратно-программный комплекс, предназначенный для автоматизации работы с информацией. Слова «аппаратно-программный комплекс» означают, что компьютер состоит из аппаратного и программного обеспечения. В состав аппаратного обеспечения входят технические устройства компьютера, а в со ...