Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:
(10)
Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что
. (11)
Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три
случая:
1) (эллиптический случай);
2) (гиперболический случай);
3) (параболический случай).
Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что , то есть знаки совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:
Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:
, (12)
где
Положим , тогда уравнение (12) примет вид: . (13)
Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на , получим:
(14)
Так как и , то предположим, что . (15)
Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса
Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.
Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами
Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что , то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:
Предположим, что . Отсюда:
(16)
Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)
тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:
При уравнение принимает вид: (18)
Пусть , тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.
Рассмотрим параболический случай. Так как , то .
Пусть . Так как после поворота , то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)
Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
тогда уравнение (19) примет вид: или , (20)
Еще о педагогике:
Выявление знаний
старших дошкольников о геометрических фигурах и форме предмета
В исследованиях участвовало 2 группы (50 детей) старшего дошкольного возраста. Исследование проводилось на базе КГКП ясли-сад №16 "Звездочка" г. Караганды и включало в себя: 1. Констатирующий эксперимент. 2. Формирующий эксперимент. 3. Контрольный эксперимент (контрольный срез). Дети были ...
Особенности эмоциональных проявлений воспитанников домов ребенка раннего
возраста при общении со взрослыми и сверстниками
Дети домов ребенка первых лет жизни испытывают потребность в повышенном внимании и доброжелательности со стороны взрослого, которая доминирует вплоть до конца дошкольного возраста. В то время, как для их сверстников из семьи характерны уже более сложные формы общения, включающие познавательные инте ...
Результаты коррекционно-педагогической работы с детьми младшего школьного
возраста с ФФНР
На заключительном, контрольном этапе, нами были проведены проверочные работы для оценки результатов примененного комплекса занятий. Детям предлагались для решения три сложные задачи на разностное сравнение: Задача 1. «За ужином дети съели 7 пирожков, после чего их осталось 11. На сколько больше пир ...