Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:
(10)
Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что
. (11)
Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три
случая:
1) (эллиптический случай);
2) (гиперболический случай);
3) (параболический случай).
Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что
, то есть знаки
совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:
Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:
, (12)
где
Положим , тогда уравнение (12) примет вид:
. (13)
Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на
, получим:
(14)
Так как и
, то предположим, что
. (15)
Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса
Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.
Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами
Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что
, то есть числа
имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:
Предположим, что . Отсюда:
(16)
Так как и
разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть
(17)
тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:
При уравнение принимает вид:
(18)
Пусть , тогда
и уравнение (18) примет вид:
откуда
Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.
Рассмотрим параболический случай. Так как , то
.
Пусть . Так как после поворота
, то уравнение (9) преобразуется до вида:
(19)
Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
тогда уравнение (19) примет вид:
или
, (20)
Еще о педагогике:
Психолого-педагогическая характеристика младшего школьника и возможности
использования самостоятельных работ на уроках «Окружающего
мира»
«Младший школьный возраст — период впитывания, накопления знаний, период усвоения по преимуществу. Успешному выполнению этой важной функции благоприятствуют характерные особенности детей этого возраста: доверчивое подчинение авторитету, повышенная восприимчивость, внимательность, наивно игровое отн ...
Ограничения, налагаемые
на учебный план
На учебные планы налагаются следующие ограничения: Календарное время окончания реализации любого раздела учебной дисциплины не должно превышать установленного срока обучения в вузе. Количество учебных часов в неделю не должно превышать заданной нормы. На каждой учебной неделе сумма аудиторных часов ...
Особенности эмоционального развития детей раннего возраста, воспитывающихся
в условиях дома ребенка
Значение развития эмоциональной сферы в процессе становления личности ребенка чрезвычайно велико. Именно в этой области складываются такие важные качества личности, как чувствительность к отношению других людей, отзывчивость на их переживания, собственное эмоциональное самоощущение, определяющее це ...