Использование свойств интеграла.
№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем
(т).
№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле
v=v0+at.
Используя данные задачи, получаем:
.
№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v0-gt. Движение вверх будет происходить при v=v0-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна
.
Введение новой переменной.
№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой: (время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 с от начала движения (t=0)?
Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z,
z=2t+1.
При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим
dz=2dt, dt=dz/2.
Вычислим сначала неопределенный интеграл,
Таким образом,
м/c.
№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле .
Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества
dq=I(t)dt.
В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках.
.
Тогда dt=du.
Значит, общее количество электричества равно
.
№3. Точка движется по прямой. В начальный момент t=1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону . Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.
Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала).
№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. [6]
Еще о педагогике:
Особенности использования ЦОР в изучении линий второго порядка на уроках
алгебры
Для того чтобы соответствовать требованиям современного информационного общества школа должна подготовить выпускников, которые являются не только хорошими специалистами в своей области, но и владеют одной из ключевых компетенций - умением применять информационно-коммуникационные технологии. Использ ...
Закономерности роста словаря дошкольника
Характерное для детей раннего возраста «словотворчество» при нормальном ходе речевого развития также протекает с учетом основных закономерностей языка. Например, по аналогии со словами «водопроводчик», «электрик» и др. ребенок образует «новое» слово – «газочник». Или, видя закрытый пакет, ребенок г ...
Условия создания эмоционального благополучия ребенка в дошкольном
учреждении
Л.С. Выготский считал, что "эмоциональное развитие детей — одно из важнейших направлений профессиональной деятельности педагога. Эмоции являются "центральным звеном" психической жизни человека, и прежде всего ребенка". Его последователи, основываясь на теоретических изысканиях, ...