Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

ΔР=FΔt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Величина называется также «импульсом силы» за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

Вытекание воды из сосуда.

Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.

Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

Еще о педагогике:

Опытно-экспериментальная работа по внедрению мультимедийных методов при изучении школьного курса «Биология» в 7-8 классах
Опытно-экспериментальная работа проводилась нами на базе МОУ СОШ №5 г. Борисоглебск в 7 и 8 классах. Были проведены констатирующий эксперимент, формирующий эксперимент и контрольный срез. На этапе констатирующего эксперимента нами был проведен опрос учащихся 7 и 8 классов, с целью выявления уровня ...

Формирование и развитие - категории педагогики
Педагогика широко использует международные понятия “формирование" и “развитие”. Формирование - процесс становления человека как социального существа под воздействием всех без исключения факторов - экологических, социальных, экономических, идеологических, психологических и т.д. Воспитание - оди ...

Анализ процесса реализации регионального компонента дошкольного образования на основе программы Васильевой в младшем дошкольном возрасте
Контрольный этап был направлен на анализ полученных результатов в ходе опытно-поисковой работы, которые соотносились с результатами констатирующего этапа опытно-поисковой работы. Показателями эффективности реализации педагогических условий направленности регионального компонента дошкольного образов ...