Физические модели при введении понятия интеграла

Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).

Интеграл как предел интегральных сумм.

1. Работа переменной силы.

Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы.

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?

Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(xk)Δxk, а на всем отрезке – суммой:

An=F(x1) Δx1+…+F(xn) Δxn. (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [a; b]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b] и может принимать любые значения. Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма An стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [a; b] и обозначают .

2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня.

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р(xk)Δxk, а на всем отрезке – суммой:

mn=p(x1) Δx1+…+p(xn) Δxn. (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).

Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.

3. Задача о перемещении точки.

При введении определенного интеграла, в качестве задачи, приводящей к данному понятию, наиболее рациональным и простым для понимания учащимися является рассмотрение задачи о перемещении точки, т. к. с обратной задачей школьники уже встречались при изучении применения производной в физике.

Между положением (координатной) точки и её скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача – нахождение положения точки по её скорости – решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.

Еще о педагогике:

Закономерности развития речи детей младшего школьного возраста
В этом разделе мы более подробно изучим закономерности развития речи детей младшего школьного возраста. Речевая деятельность человека осуществляется в соответствии с нормами, свойственными тому или иному языку на определенном этапе его развития. Приведу основные закономерности развития детской речи ...

Особенности усвоения математических навыков учеников с нарушением интеллекта
В связи с проблемой формирования и развития способностей следует указать, что целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности. При этом под способностями понимается комплекс индивидуально - психологических особенностей челове ...

Методика обучения школьников машиноведению
Учебной программой уделяется большое внимание обучению учащихся станочным операциям и сообщению им начальных об­щих сведений о машине. Это не случайно. Во-первых, одна из главных задач трудового обучения в V—VII классах состоит в том, чтобы дать учащимся правильное представление о харак­тере соврем ...