Различные методы изучения приложений интеграла в физике

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I. Составление интегральных сумм.Масса стержня переменной плотности.Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка,где a=x0<x1<…<xn=b, Δxi =xi+1-xi.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. Центр масс.При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата центра масс системы материальных точек А1, А2,…, Аn с массами m1, m2,…, mn, расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2,…, xn, находится по формуле.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня – отрезка [a; b] оси Ох – распределена масса плотностью ρ(х), где ρ(х) – непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна .Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками a=x0<x1<…<xn=b. На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной ρ(xk-1) на k-м отрезке (в силу непрерывности ρ(х) ). Тогда масса k-отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы mk, помещенной в точке xk-1, получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.

II. Метод дифференциалов.

Электрический заряд.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t; t+dt] можно считать силу тока постоянной и равной I(t). Тогда дифференциал заряда запишем так: dq=I(t)dt. Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a; b] можно записать в виде интеграла:

.

Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину.

III. Рассмотрение практической задачи.

Работа силы.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.

По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия (в м), k – постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м и сила F=10 Н, то . Следовательно, F(x)=kx=1000x.

Еще о педагогике:

Уровни и формы осуществления методической деятельности
Различают два уровня описания любой деятельности: эмпирический и теоретический. Выявлено, что не каждый преподаватель и не сразу включается в методическую работу. Первоначально молодого педагога захватывает процесс преподавания своего предмета, поиск удачных приемов, методических разработок по преп ...

Общая характеристика коллектива, участвующего в исследовании
Мастерская современной хореографии «Сирена» создана в 1984 году, возрастные группы воспитанников от 4–18 лет. Деятельность осуществляется по комплексной, авторской, профессионально – ориентированной программе мастерской современной хореографии «Сирена» – «Войди в мир танца». Старшие ребята еще допо ...

Возрастные особенности нравственного развития детей
В литературе обычно указывается на роль сензитивных периодов в интеллектуальном развитии, но есть основания говорить и о сензитивных периодах нравственного развития ребенка. Как отмечал Л. С. Выгодский, «нет и не может быть другого критерия для определения конкретных эпох детского развития или возр ...