Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

.

Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула

, (6)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (7)

В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.

40. Если на отрезке [a; b], то .

Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.

При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.

Еще о педагогике:

Процесс реализации регионального компонента дошкольного образования
Вопросам регионализации системы образования особое внимание исследователи стали уделять на рубеже 90-х годов. В этот период процесс регионализации выступил одним из направлений реформирования системы образования в целом по России и в Республике Башкортостан. В системе дошкольного образования Респуб ...

Сущность понятия мотивационно-ценностного отношения к учебной деятельности у младших школьников
Для раскрытия сущности понятия «мотивационно-ценностного отношения к учебной деятельности» необходимо обратиться к определению таких категорий как «мотив», «ценностные ориентации». В психологической литературе понятие «мотив» трактуется по-разному. Радугин А.А. считает, что мотив – это побуждение к ...

Определение гражданского воспитания
Гражданское воспитание– это система воспитательной работы по формированию качеств, необходимых члену государства, а именно: политической культуры, правовой культуры, а так же патриотизма и культуры межнациональных отношений. Политика, гражданственность, патриотизм, право тесно связанны друг с друго ...